分层方差公式推导

分层方差公式用于估计总体方差时考虑到数据是从不同的子群体（层）中抽取的。其核心思想是将总体方差分解为组间方差和组内方差两部分。下面是分层方差公式的推导过程：

1. 定义符号 ：

设总体被分为 \\（ m \\） 个层，第 \\（ i \\） 层中有 \\（ N_i \\） 个单位。

样本中来自第 \\（ i \\） 层的数量为 \\（ n_i \\）。

样本中来自第 \\（ i \\） 层的比例为 \\（ f_i = \\frac{n_i}{N_i} \\）。

样本中来自第 \\（ i \\） 层的样本均值为 \\（ \\bar{X}_i \\）。

样本中来自第 \\（ i \\） 层的样本方差的无偏估计量为 \\（ s_i^2 = \\frac{1}{n_i - 1} \\sum_{j=1}^{n_i} （X_j - \\bar{X}_i）^2 \\）。

样本中来自第 \\（ i \\） 层的样本均值的无偏估计量为 \\（ \\bar{X}_i \\）。

样本容量为 \\（ n = \\sum_{i=1}^{m} n_i \\）。

样本中来自第 \\（ i \\） 层的样本均值的无偏估计量为 \\（ \\bar{X} \\）。

2. 计算各组间方差 ：

各组间方差反映了不同层之间的差异，计算公式为：

\\[

\\text{组间方差} = \\sum_{i=1}^{m} f_i （\\bar{X}_i - \\bar{X}）^2

\\]

其中，\\（ \\bar{X} \\） 是样本均值的无偏估计量。

3. 计算各组内方差 ：

各组内方差反映了同一层内部样本的变异，计算公式为：

\\[

\\text{组内方差} = \\sum_{i=1}^{m} f_i s_i^2

\\]

4. 分层方差公式 ：

将组间方差和组内方差相加，得到分层方差公式：

\\[

\\text{分层方差} = \\text{组间方差} + \\text{组内方差}

\\]

\\[

= \\sum_{i=1}^{m} f_i （\\bar{X}_i - \\bar{X}）^2 + \\sum_{i=1}^{m} f_i s_i^2

\\]

这就是分层方差的计算公式。这个公式用于估计总体方差，特别是在分层抽样中，当样本是从不同的子群体中抽取的时候，它可以提供更准确的总体方差估计。

希望这个推导过程对你理解分层方差公式有所帮助。

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